期待値計算

VQE の目的関数 $⟨\psi (\theta )|H|\psi (\theta )⟩$ を、 実機でどう測るか。ここが実行時間を支配する。

パウリ分解#

ハミルトニアンをパウリ演算子の積の和に書く。

$$H=\sum _k{c}_k{P}_k,P_k\in {\{I,X,Y,Z\}}^{\otimes n}$$

期待値の線形性から

$$⟨H⟩=\sum _k{c}_k⟨P_k⟩$$

各項を別々に測って足す。

測定基底の変換#

実機は $Z$ 基底の測定しか持たないので、 $X$ や $Y$ を含む項は測定前に基底変換ゲートをかける。 項ごとに異なる回路を実行する必要がある。

測定回数の見積もり#

必要なショット数は

$$\text{shots}\sim \frac{{\left({\sum }_k|c_k|\right)}^2}{{ϵ}^2}$$

化学的精度 $ϵ=1.6\times {10}^{-3}$ Ha を目指すと、 分子によっては ${10}^8\sim {10}^{13}$ ショットが必要と見積もられている。

これが VQE の実用化における最大の障壁とされる。 回路の深さではなく、測定回数がボトルネック。

削減の工夫#

手法	考え方
測定グルーピング	可換な項をまとめて同時測定
重要度サンプリング	係数の大きい項に多くのショットを配分
古典シャドウ	ランダム測定から多数の観測量を同時推定
ハミルトニアンの切り詰め	係数の小さい項を捨てる

参考文献#

• Dave Wecker et al. Progress towards practical quantum variational algorithms. Physical Review A 92(4), 2015. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.92.042303
• Hsin-Yuan Huang, Richard Kueng, John Preskill. Predicting many properties of a quantum system from very few measurements. Nature Physics 16, 2020. https://doi.org/10.1038/s41567-020-0932-7
• Marco Cerezo et al. Variational quantum algorithms. Nature Reviews Physics 3, 2021. https://doi.org/10.1038/s42254-021-00348-9