方程式の数値解法 — 知識ノート

$f (x) = 0$ を満たす $x$ を反復で求める。

主な方法#

方法	収束	必要なもの	保証
二分法	線形	符号が変わる区間	必ず収束
割線法	超線形（約 1.62 次）	2 つの初期値	なし
Newton 法	二次	導関数、良い初期値	なし
Brent 法	実用上高速	区間	必ず収束

Newton 法は最も速いが、初期値が悪いと発散する。二分法は遅いが必ず収束する。

Brent 法は両者を組み合わせ、速い手法を試しつつ、うまくいかなければ二分法に落とす。 SciPy の brentq が既定手法になっているのはこのため。実務では「速いが不確実」より「そこそこ速くて確実」が選ばれる。

$| f (x) | < ϵ$ だけでは不十分。 $f$ の傾きが小さいと、 $f$ が小さくても $x$ は解から遠い。 $| x_{k + 1} - x_{k} |$ も併せて見る。

William H. Press et al. Numerical Recipes, 3rd ed. Cambridge University Press, 2007. https://numerical.recipes/
Richard P. Brent. Algorithms for Minimization without Derivatives. Prentice-Hall, 1973 / Dover, 2013. https://store.doverpublications.com/products/9780486419985