相関

$$\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\in [-1,1]$$

共分散をスケール非依存にしたもの。

線形関係しか測らない#

$\rho =0$ は「線形な関係が無い」だけ。 $Y=X^2$（$X$ が原点対称）なら $\rho =0$ だが完全に決まる。

非線形な関係を捉えたいなら Spearman の順位相関、相互情報量などを使う。

相関は因果ではない#

$X$ と $Y$ に相関があるとき、可能性は 4 つ。

1. $X\to Y$
2. $Y\to X$
3. 共通の原因 $Z$ がある（交絡）
4. 偶然

観測データだけでは区別できない。 区別するには介入（実験）か、因果推論の枠組みが要る。

外れ値に弱い#

Pearson の相関係数は 1 点の外れ値で大きく変わる。 Anscombe の 4 つ組はこれを示す例で、 必ず散布図を確認する。

参考文献#

• Larry Wasserman. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21736-9
• Francis J. Anscombe. Graphs in Statistical Analysis. The American Statistician 27(1), 1973. https://doi.org/10.1080/00031305.1973.10478966