量子力学の基礎

量子力学は、次の 4 つの公準で組み立てられる。

公準#

1. 状態 — 孤立系の状態は、ヒルベルト空間の 単位ベクトル $|\psi ⟩$ で表される。

2. 時間発展 — 閉じた系の時間発展は ユニタリ変換で表される。

$$|\psi (t)⟩=U(t)|\psi (0)⟩,U=e^{-iHt/\hslash }$$

3. 測定 — 観測量はエルミート演算子で表され、 測定値はその固有値。確率は $|⟨i|\psi ⟩{|}^2$（Born 則）。

4. 合成系 — 複数の系の状態空間はテンソル積。

公準から何が出るか#

これだけで量子計算のすべての規則が決まる。

公準	帰結
1	重ね合わせが許される
2	量子ゲートは可逆でなければならない
3	測定は確率的で、状態を壊す
4	$n$ ビットで $2^n$ 次元。もつれが存在する

解釈問題は脇に置ける#

「測定で何が起きているのか」については コペンハーゲン解釈、多世界解釈など複数の立場がある。 どれを取っても計算の予測は同じなので、 量子計算を扱う上では公準を規則として使えば足りる。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/