Jordan-Wigner変換

フェルミオンの演算子を、量子ビットのパウリ演算子に写す変換。

$$a_p=\left(\prod _{k<p}{Z}_k\right)\frac{X_p+i{Y}_p}{2}$$

何をしているのか#

問題は、フェルミオンが反交換するのに 異なる量子ビットのパウリ演算子は交換すること。

Jordan-Wigner 変換は、 $p$ より前のすべての量子ビットに $Z$ を掛けることで、 符号を追跡する。$Z$ の連鎖が「これまでに何個の電子があったか」の パリティを持ち、それが反交換の符号を再現する。

対応#

フェルミオン	量子ビット
軌道 $p$ の占有数	量子ビット $p$ の $\Vert 0⟩/\Vert 1⟩$
$a_p^{†}{a}_p$	$(I-Z_p)/2$
反交換の符号	$Z$ の連鎖

軌道 1 つが量子ビット 1 つという素直な対応が得られるのが利点。

代償#

$Z$ の連鎖が最大 $M$ 個に及ぶため、 演算子が非局所的になる。

$$a_p^{†}{a}_q⟶\text{最大 }𝒪(M)\text{ 個のパウリ演算子の積}$$

回路が深くなり、実機の限られた接続性では さらに SWAP が要る。

代替の変換#

変換	演算子の重み
Jordan-Wigner	$𝒪(M)$
Parity	$𝒪(M)$
Bravyi-Kitaev	$𝒪(\log M)$

Bravyi-Kitaev は占有数とパリティを木構造で保持することで 重みを対数に抑える。実装は複雑になるが、 大規模系では有利になる。

参考文献#

• Pascual Jordan, Eugene Wigner. Über das Paulische Äquivalenzverbot. Zeitschrift für Physik 47, 1928. https://doi.org/10.1007/BF01331938
• Jacob T. Seeley, Martin J. Richard, Peter J. Love. The Bravyi-Kitaev transformation for quantum computation of electronic structure. The Journal of Chemical Physics 137(22), 2012. https://doi.org/10.1063/1.4768229
• Sam McArdle et al. Quantum computational chemistry. Reviews of Modern Physics 92(1), 2020. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.015003