フェルミオン

半整数スピンを持ち、反対称な波動関数に従う粒子。 電子、陽子、中性子。

反対称性#

2 粒子を入れ替えると波動関数の符号が変わる。

$$\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)=-\mathrm{\Psi }(x_2,x_1)$$

$x_1=x_2$ とすると $\mathrm{\Psi }=-\mathrm{\Psi }$、つまり $\mathrm{\Psi }=0$。 同じ状態に 2 個入れない（Pauli の排他原理）が 反対称性の直接の帰結。

ボソンとの対比#

	フェルミオン	ボソン
スピン	半整数	整数
交換	反対称（$-$）	対称（$+$）
占有数	0 か 1	制限なし
例	電子、陽子	光子、フォノン

物質が体積を持つのも、周期表が存在するのも、 フェルミオンの排他原理による。

量子計算での扱いにくさ#

量子ビットは互いに交換する（異なるビットのパウリ演算子は可換）。 一方フェルミオンは反交換する。

この食い違いを埋めるのが Jordan-Wigner 変換などの フェルミオン-量子ビット変換で、 非局所的な $Z$ の連鎖という代償を払うことになる。

変換	演算子の重み	特徴
Jordan-Wigner	$𝒪(M)$	単純。局所性が失われる
Bravyi-Kitaev	$𝒪(\log M)$	重みが小さい。複雑
Parity	$𝒪(M)$	対称性の利用がしやすい

参考文献#

• Attila Szabo, Neil S. Ostlund. Modern Quantum Chemistry. Dover, 1996. https://store.doverpublications.com/products/9780486691862
• Sam McArdle et al. Quantum computational chemistry. Reviews of Modern Physics 92(1), 2020. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.015003
• Sergey B. Bravyi, Alexei Yu. Kitaev. Fermionic Quantum Computation. Annals of Physics 298(1), 2002. https://doi.org/10.1006/aphy.2002.6254