複素数

$$z=a+bi,i^2=-1$$

極形式#

$$z=r{e}^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

$r=|z|$ が絶対値、$\theta$ が偏角。 複素数の掛け算は、絶対値の積と偏角の和になる。 つまり $e^{i\theta }$ を掛けることは回転を意味する。

量子計算での役割#

量子状態の係数（確率振幅）が複素数であることが、 古典確率との決定的な違いを生む。

$$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩,\alpha ,\beta \in ℂ$$

確率は $|\alpha {|}^2$ だが、振幅そのものは複素数。 このため

• 振幅どうしが打ち消し合える（干渉）
• 絶対値が同じでも位相が違えば別の状態

確率が非負の実数しか取れない古典確率では、 打ち消し合いは起こらない。 Grover も 量子フーリエ変換 も、 この干渉を使って誤った答えの振幅を消している。

オイラーの公式#

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

量子計算では位相因子 $e^{i\varphi }$ として至る所に現れる。 位相ゲートはこれを掛ける操作。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667