フェルミ・ハバードモデル

格子上の電子の、最小限の模型。

$$H=-t\sum _{⟨i,j⟩,\sigma }(c_{i\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+\text{h.c.})+U\sum _i{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }$$

• $t$ … ホッピング。隣の格子点へ飛び移る
• $U$ … 同じ格子点に上下スピンが同居するときの反発

たった 2 つのパラメータで、金属絶縁体転移、磁性、 そして高温超伝導の候補とされる物理を含む。

なぜ重要なのか#

単純なのに解けない。 1 次元では厳密解があるが、 2 次元では解析解が無く、数値的にも 符号問題により量子モンテカルロが破綻する領域がある。

高温超伝導の機構を説明できるかが数十年の未解決問題で、 凝縮系物理の中心的な題材になっている。

$U/t$ が支配する#

領域	振る舞い
$U/t\ll 1$	電子が動きやすい。金属的
$U/t\gg 1$	反発で動けない。Mott 絶縁体
中間	最も難しい。競合する秩序

中間領域では複数の状態がエネルギー的に拮抗し、 静的相関が強い。 古典的な近似手法が最も苦手とするところ。

量子計算の標的として#

分子ハミルトニアンより構造が単純（相互作用が局所的）なので、 項数が $𝒪(M^4)$ にならず、 Trotter 分解も効率的にできる。

このため量子シミュレーションの最初の実用的標的として しばしば挙げられる。冷却原子系による量子シミュレータでも 実験が進んでいる。

参考文献#

• John Hubbard. Electron correlations in narrow energy bands. Proceedings of the Royal Society A 276(1365), 1963. https://doi.org/10.1098/rspa.1963.0204
• Daniel P. Arovas et al. The Hubbard Model. Annual Review of Condensed Matter Physics 13, 2022. https://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031620-102024
• Sam McArdle et al. Quantum computational chemistry. Reviews of Modern Physics 92(1), 2020. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.015003