第二量子化 — 知識ノート

粒子の「占有数」で状態を記述する形式。量子計算との橋渡しになる。

波動関数から占有数へ#

第一量子化では、 $N$ 個の電子の座標の関数として書く。

Ψ (x_{1}, \dots, x_{N})

第二量子化では、各軌道に電子が何個入っているかで書く。

| n_{1} n_{2} \dots n_{M} ⟩, n_{i} \in {0,1}

電子はフェルミオンなので占有数は 0 か 1。

占有数がそのままビット列になる。

| n_{1} n_{2} \dots n_{M} ⟩ ⟷ M 量子ビット

反対称性を明示的に扱う必要がなく、演算子の代数に押し込められる。

量子ビット数 = スピン軌道数という明快な対応が得られるのが、量子化学が量子計算と相性が良いとされる理由。

H = \sum_{p q} h_{p q} a_{p}^{†} a_{q} + \frac{1}{2} \sum_{p q r s} h_{p q r s} a_{p}^{†} a_{q}^{†} a_{r} a_{s}

1 電子項と 2 電子項。係数 $h$ は古典計算（積分）で求めておく。

2 電子項が $𝒪 (M^{4})$ 個あるため、測定すべき項数が軌道数の 4 乗で増える。これが実用化の障壁のひとつ。

Trygve Helgaker, Poul Jørgensen, Jeppe Olsen. Molecular Electronic-Structure Theory. Wiley, 2000. https://doi.org/10.1002/9781119019572
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