重積分 — 知識ノート

\int \int_{D} f (x, y) d x d y

多変数関数の積分。 $n$ 次元なら $n$ 重。

逐次積分に分解する#

Fubini の定理により、（適当な条件のもとで） 1 変数ずつ順に積分してよい。

\int \int f = \int (\int f d x) d y

積分の順序も交換できる。ただし絶対収束が前提で、条件収束の場合は順序で値が変わりうる。

\int_{D} f (x) d x = \int_{D^{'}} f (g (u)) | \det J_{g} | d u

ヤコビ行列の行列式が 体積の伸縮率を補正する。極座標変換で $r$ が出るのはこの因子。

各軸を $m$ 分割すると格子点は $m^{n}$ 個。 $n = 10$ 、 $m = 100$ で $10^{20}$ 点。 格子ベースの数値積分は高次元で使えない。

対してモンテカルロ法の誤差は $𝒪 (1 / \sqrt{N})$ で次元に依存しない。高次元積分でモンテカルロが選ばれる決定的な理由。