微分方程式

未知の関数とその導関数の関係式。

$$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$$

代数方程式が数を求めるのに対し、微分方程式は関数そのものを求める。

種類#

種類	特徴
常微分方程式 (ODE)	独立変数が 1 つ。時間発展など
偏微分方程式 (PDE)	独立変数が複数。空間と時間
線形	解の重ね合わせが成り立つ
非線形	一般に解析解が無い

線形なら行列で解ける#

$$\dot{x}=Ax⟹x(t)=e^{At}x(0)$$

$A$ を対角化すれば $e^{At}=P{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{P}^{-1}$ で、 固有値が解の振る舞い（減衰・振動・発散）を決める。

この分野での登場#

**シュレディンガー方程式**が最重要。

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩=H|\psi ⟩$$

線形なので上と同じ形で解け、 $|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩$。 $H$ がエルミートなので $e^{-iHt/\hslash }$ はユニタリになり、 確率が保存される。

量子シミュレーションは この時間発展を量子回路で実装する問題。

数値解法#

解析解が無いのが普通なので、数値的に解く。 オイラー法、Runge-Kutta 法が基本。 Trotter 分解も、 指数関数の分割という意味で同じ系譜にある。

参考文献#

• MIT OCW 18.03 Differential Equations https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/
• Ernst Hairer, Syvert P. Nørsett, Gerhard Wanner. Solving Ordinary Differential Equations I, 2nd ed. Springer, 1993. https://doi.org/10.1007/978-3-540-78862-1