積分

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

微小な量を足し合わせる操作。 幾何的には面積。

2 つの見方#

リーマン積分 — 区間を細かく分け、短冊の面積を足す。 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }x$。

微分の逆 — 微積分学の基本定理により、 $F^{\prime }=f$ なら ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$。 足し合わせと微分の逆操作が一致する、という主張。

この分野での役割#

積分そのものより、期待値として現れることが多い。

$$𝔼[f(X)]=\int f(x)p(x)dx$$

場面	積分の中身
期待値	確率密度で重み付けした平均
量子測定の確率	波動関数の絶対値二乗の積分
探索分布下の期待値	${𝔼}_{p_{\theta }}[f(x)]$

解析的に解けないのが普通#

実用上現れる積分の多くは、閉じた形で書けない。 そこで数値積分や モンテカルロ法を使う。

高次元では格子ベースの数値積分が破綻し （次元の呪い）、 モンテカルロ法が事実上唯一の選択肢になる。

参考文献#

• MIT OCW 18.01 Single Variable Calculus https://ocw.mit.edu/courses/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/
• Michael Spivak. Calculus on Manifolds. Westview Press, 1965. https://doi.org/10.1201/9780429501906