期待値

$$𝔼[X]=\sum _{x}xp(x)\text{or}\int xp(x)dx$$

値を確率で重み付けした平均。 分布の「重心」。

線形性#

$$𝔼[aX+bY]=a𝔼[X]+b𝔼[Y]$$

独立でなくても成り立つ。 これが期待値の最も便利な性質で、 複雑な確率変数を分解して扱える。

一方 $𝔼[XY]=𝔼[X]𝔼[Y]$ は 独立のときしか成り立たない。差が共分散。

不偏推定#

標本平均は母平均の不偏推定量。

$$𝔼\left[\frac{1}{n}\sum _i{X}_i\right]=\mu$$

SGD が ミニバッチの勾配を使えるのは、それが真の勾配の不偏推定だから。 SPSA の勾配推定も同様に不偏性が要点。

量子計算での意味#

VQE が最小化する $⟨\psi |H|\psi ⟩$ は、 測定結果の期待値そのもの。 実機では有限回の測定の標本平均で推定するため、 真の期待値との差がばらつきとして残る。

必要なショット数は $𝒪(1/{ϵ}^2)$ で、 精度を 1 桁上げるには 100 倍測る必要がある。 これが VQE の実行時間を支配する。

参考文献#

• Larry Wasserman. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21736-9
• MIT OCW 6.041 Probabilistic Systems Analysis and Applied Probability https://ocw.mit.edu/courses/6-041-probabilistic-systems-analysis-and-applied-probability-fall-2010/