離散確率分布

確率変数がとびとびの値を取る場合の分布。 確率質量関数 (PMF) $p(x)=P(X=x)$ で表す。

$$p(x)\ge 0,\sum _{x}p(x)=1$$

代表的な分布#

分布	表すもの	期待値
ベルヌーイ	1 回の成否	$p$
二項	$n$ 回中の成功数	$np$
幾何	初めて成功するまでの回数	$1/p$
ポアソン	単位時間あたりの発生数	$\lambda$
一様（離散）	$n$ 通りが等確率	$(n+1)/2$

この分野での登場#

量子測定の結果は離散分布になる。 $n$ 量子ビットを測れば $2^n$ 通りの結果があり、 それぞれの確率が振幅の絶対値二乗で決まる。

有限ショットで期待値を推定するとき、 測定結果は二項分布（あるいは多項分布）に従う。 このばらつきがショットノイズで、 VQE の最適化を難しくしている原因。

SPSA の摂動に 対称ベルヌーイ分布を使うのも、離散分布の応用例。

参考文献#

• Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell. Introduction to Probability, 2nd ed. AMS, 1997.（全文公開） https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/21
• Larry Wasserman. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21736-9