二項分布 — 知識ノート

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

成功確率 $p$ の試行を $n$ 回行ったときの成功回数。

𝔼 [X] = n p, Var (X) = n p (1 - p)

量子測定との対応#

量子計算のショットノイズはこの分布。ある観測量を $n$ ショット測り、 $k$ 回「1」が出たとする。確率 $p$ の推定値は $\hat{p} = k / n$ で、その標準誤差は

SE (\hat{p}) = \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}}

精度を 1 桁上げるには 100 倍のショットが要る。 これがVQE の実行時間を支配し、評価回数を惜しむ最適化手法が必要になる根本的な理由。

$n$ が大きいと中心極限定理により正規分布で近似できる。

X \approx 𝒩 (n p, n p (1 - p))

目安は $n p \geq 5$ かつ $n (1 - p) \geq 5$ 。 $p$ が 0 や 1 に近いとこの近似は悪く、信頼区間の計算では Wilson 区間などを使う方が良い。

Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell. Introduction to Probability, 2nd ed. AMS, 1997.（全文公開） https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/21
Larry Wasserman. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21736-9