累積分布関数

$$F(x)=P(X\le x)$$

その値以下になる確率。 CDF。

離散も連続も統一的に扱える#

密度や質量関数は離散と連続で形が違うが、 CDF はどちらでも定義できる。

• 離散 … 階段状
• 連続 … 連続で単調非減少、$F^{\prime }=p$

分布の定義として最も基本的なのは実は CDF の方。

性質#

• 単調非減少
• $F(-\infty )=0$、$F(\infty )=1$
• 右連続

逆関数法#

$F$ の逆関数を使うと、一様乱数から任意の分布を生成できる。

$$U\sim \mathrm{Uniform}(\mathrm{0,1})⟹F^{-1}(U)\sim F$$

モンテカルロ法で 任意の分布から標本を引く基本手段。 $F^{-1}$ が閉じた形で書ければ最も速い。

正規分布は $F^{-1}$ が初等関数で書けないため、 Box-Muller 法など別の手段を使う。

分位点#

$F^{-1}(q)$ が $q$ 分位点。中央値は $F^{-1}(0.5)$。 信頼区間の端点もこれで表される。

参考文献#

• Larry Wasserman. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21736-9
• Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell. Introduction to Probability, 2nd ed. AMS, 1997.（全文公開） https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/21