標準偏差

$$\sigma =\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$

分散の平方根。

なぜ平方根を取るのか#

単位が元の変数と揃う。 身長の分散は cm²、標準偏差は cm。 値の散らばりを直感的に読めるのは標準偏差の方。

理論的な計算では分散（加法性がある）、 結果の報告では標準偏差、という使い分けになる。

正規分布での目安#

正規分布なら

範囲	含まれる割合
$\mu \pm \sigma$	68.3%
$\mu \pm 2\sigma$	95.4%
$\mu \pm 3\sigma$	99.7%

物理で「5σ」を発見の基準にするのは、 偶然でそこまで外れる確率が $3\times {10}^{-7}$ 程度だから。

この目安は正規分布に限る。 裾の重い分布では $3\sigma$ を超える事象がずっと頻繁に起きる。

標準誤差との違い#

• 標準偏差 … データそのもののばらつき
• 標準誤差 … 推定量（標本平均など）のばらつき。$\sigma /\sqrt{n}$

$n$ を増やしても標準偏差は変わらないが、標準誤差は小さくなる。 実験結果を報告するとき、 どちらを書いているかを明示しないと誤解を招く。

参考文献#

• Larry Wasserman. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21736-9
• Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell. Introduction to Probability, 2nd ed. AMS, 1997.（全文公開） https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/21