座標変換 — 知識ノート

同じベクトルを、別の基底で表し直すこと。

基底 $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ での座標を ${[x]}_{B}$ と書くと

x = B {[x]}_{B} ⟺ {[x]}_{B} = B^{- 1} x

行列も変換される#

$A$ が表す線形写像を新しい基底で書くと

{[A]}_{B} = B^{- 1} A B

これを相似変換と呼ぶ。対角化 $A = P Λ P^{- 1}$ は「固有ベクトルを基底に取れば対角になる」という座標変換の主張。

変わる	変わらない（相似不変量）
成分の値	固有値
見た目の複雑さ	行列式、トレース、ランク

本質的な性質は基底に依存しない。 だから「良い基底を選ぶ」ことは、対象を変えずに見通しを良くする操作になる。

$B$ が直交行列なら $B^{- 1} = B^{⊤}$ なので、逆行列の計算が不要。数値的にも安定。 CMA-ES の白色化も、直交行列と対角行列の組み合わせで座標変換している。

Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. 講義は MIT OCW 18.06 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/